Что такое подмножество? Значение слова подмножество Является ли множество а подмножеством множества в

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".

Ели ли Вы сегодня обед? Сейчас станет известна страшная тайна. Обед является множеством. А именно, множеством блюд, из которых он состоит. В нём (как правило) нет одинаковых блюд, и во множестве все элементы должны быть разными. А, если на обед у Вас был тот же самый салат, что и на завтрак, то этот салат является пересечением множеств "Обед" и "Завтрак".

Взгляните на книгу, лежащую на столе или стоящую на полке. Она является множеством страниц. Все страницы в ней отличаются друг от друга, по меньшей мере номерами.

А улица, на которой Вы живёте? Она является собранием многих разных объектов, но обязательно есть множество домов, расположенных на этой улице. Поэтому множество домов является подмножеством множества "Улица".

Итак, мы рассмотрели не только примеры множеств, но и пример операции над множествами - пересечение, а также отношение включения подмножества во множество. Все эти понятия будем рассматривать подробно на этом уроке.

Но пока ещё один пример практического рассмотрения множеств.

Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём.

Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.

Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).

Код PASCAL

Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.

Какие бывают множества

Объекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:

Натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...

Простых чисел

Чётных целых чисел

и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала).

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество - это "мешок с элементами". Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.

Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Если M - множество, а a - его элемент, то пишут: a ∈M , что означает "a принадлежит множеству M ".

Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:

hleb ∈VETEROK ,

что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK".

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:

VETEROK = {hleb , syr , maslo } ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.

Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p (x ) - некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = {x | p (x )} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p (x ) истинно. Это выражение читается так: "Множество M , состоящее из всех таких x , что p (x ) ".

Например, запись

M = {x | x ² - 3x + 2 = 0}

Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые, апельсины купили 29 покупателей, лимоны - 30 покупателей, мандарины - 9, только мандарины - 1, апельсины и лимоны - 10, лимоны и мандарины - 4, все три вида фруктов - 3 покупателя. Сколько покупателей не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?

Операция декартова произведения множеств

Для определения ещё одной важной операции над множествами - декартова произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n .

Длиной набора называется число n его компонент. Набор, составленный из элементов , взятых именно в этом порядке, обозначается . При этом i я () компонента набора есть .

Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно, но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово произведение множеств.

Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n , i -я компонента которых принадлежит .

Множество А называют подмножеством множества S (или в множестве 5), если каждый элемент множества А является элементом множества S. Обозначение: Ис5.

Выражение AqS также читают: «А включено в 5», «А содержится в 5», «S содержит А», «А часть S». Знак с называют символом включения.

Запишем данное определение символически:

Из определения вытекает: множество А является подмножеством в S тогда и только тогда, когда из предложения (хеА ) следует предложение (xeS).

Построим отрицание к тому, что AczS. По законам логики имеем:

Итак, предложение «Множество А не включено в S » равносильно предложению «Существует элемент множества А , который не лежит в S».

Два множества А и В формально можно соединить знаками включения двумя способами: A(z.B и ВсА. Каждое из этих выражений определяет предложение, которое может быть истинным или ложным. Второе включение В (также пишут А^В) по отношению к первому называют обратным. Не всегда из справедливости одного из включений следует истинность другого включения.

Пример 6.2.1. Имеет место включение {-2;2} с {-2;0; 1 ;2}, так как оба числа (-2) и 2 являются элементами множества {-2;0; 1 ;2}. Однако {-2;0; 1 ;2} не включено в {-2;2}, так как, например, 0г {-2;2}.

Пример 6.2.2. Пусть А - множество всех ромбов, В - множество всех квадратов.

А ? В, так как существует ромб, не являющийся квадратом.

В с: А, так как любой квадрат является ромбом (что вытекает из определений данных фигур).

Друг ими словами, множество всех квадратов является подмножеством множества всех ромбов.

Пример 6.2.3. {х | *:12}с{* | дг:3}, так как *:12=>*:3 (обоснуйте самостоятельно). Однако обратное включение неверно, гак как х:3фх":2 (приведите контрпример).

Из определения вытекает, что то есть каждое множество является подмножеством самою себя.

Возьмем вместо А пустое множество. Тогда утверждение 0qS равносильно V* (хе0 xeS). Так как посылка импликации всегда ложна, то для любого объекта д; импликация принимает истинное значение. Значит, утверждение 0qS верно. Итак, пустое множество является подмножеством любого множества.

Вывод: у любого непустого множества всегда есть два подмножества - само множество и пустое. Их называют тривиальными подмножествами. Само множество также называют несобственным подмножеством.

Подмножество в S называется собственным, если оно не совпадает с S. Запись AaS означает, что А является собственным подмножеством в S:

Знак символом строгого включении.

Мы имеем два отношения: отношение принадлежности элемента множеству (обозначаемое знаком е) и отношение включения множеств (обозначаемое знаком с). В общем случае это разные знаки. Например, {2}с{2,3}, но {2} *г{2,3}. Однако иногда между множествами можно поставить оба знака.

Пример 6.2.4. Множество А = {2} является элементом множества В = {1,2,{2}}. При этом А есть подмножество множества В , так вес элементы множества А лежат в В (в А есть только один элемент - число 2, который лежит в В).

Итак, {2}е{1,2,{2» и {2}с{ 1,2,{2}}.

Пример 6.2.5. Рассмотрим плоскость а и прямую /, лежащую на этой плоскости. Если рассматривать прямую как элемент плоскости, то принято писать lea. Если же понимать прямую как множество точек, принадлежащих данной прямой, то это множество будет подмножеством множества всех точек плоскости. Тогда можно записать /са.

Пусть верны прямое и обратное включения AqB и B В этом случае для всех х выполняются импликации хеЛ ->хеВ и xgB->xеЛ, что равносильно тому, что для всех.v хеЛ тогда и только тогда, когда хеВ. Это означает, что множества А и В совпадают:

Эю простое соображение лежит в основе метода доказательства равенства множеств, называемого методом двойного включения : для того чтобы доказать, что множества А и В равны, надо доказать прямое и обратное включения множ еств.

По сути, эта идея была продемонстрирована в примере 6.1.3, так как прямое включение A означает, что из предиката Р{х), задающего множество А , следует предикат Q{x ), задающий множество В , а обратное включение означает, что из Q(x) следует Р(х). Рассмотрим еще один пример.

Пример 6.2.6. Возьмем множества:

А = {2п | neZ) - множество всех четных чисел,

В - {хх=а+Ь, где а и b - нечетные числа} - множество всех чисел, каждое из которых является суммой некоторых нечетных чисел.

Докажем, что А=В.

Покажем справедливость включения А^В. Пусть хеА, тогда имеем х = 2w = (2/f-l)+1, то есть х представим в виде суммы двух нечетных чисел. Значит, хеВ.

Верно также обратное включение ВсА. В самом деле, пусть хеВ. Тогда х = (2/7+1)+(2А+1) = 2(/;+А"+1) = 2т. Значит х - четное число, поэтому хеА.

Оба включения доказаны. Значит, множества А и В равны.

Упражнение. Докажите, что множества {2/7-1 пе Z} и {2/7+1 | не Z} равны, то есть оба определяют множество нечетных чисел.

Пример 6.2.7. Заметим, что множества А= {2я-1 | //eN} и В - {2/7+1 | /7 € N} нс равны, так как IgA, но 1 &В. Поэтому множество всех нечетных положительных чисел задаст только множество Л. При этом включение Л^В верно.

Пусть дано множество S. Семейство всех подмножеств множества S называется булеаном множества S (или степенью множества S) и обозначается В(5) или 2 s .

По определению В(5) = {X | AfcS}.

Ясно, что 0еВ(5) и SeB(S) для любого множества S.

Пример 6.2.8. Пусть S = {1,2,3}. Найдем булсан этого множества.

Заметим, что элементами булеана являются множества.

Термин «степень множества» и соответствующее обозначение мотивируются тем, что если мы имеем конечное //-элементное множество, то число элементов его булеана будет равно степени 2". Рассмотренный выше пример иллюстрирует эту зависимость. Доказательство данного факта будет дано в главе 3. Там же будет рассмотрена формула, позволяющая находить у //-элементного множества число подмножеств, содержащих фиксированное число элементов.

• В некоторой литературе знаком с обозначают произвольное подмножество.

Определение:

Множество – это любая совокупность объектов, которые называются его элементами.

Если х- элемент множества М, то обозначают: х М { х – принадлежит М}, если не принадлежит, то х ∉ М; Множество не содержащее элементов называется пустым и обозначается ∅

Множество, в котором содержатся все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается –

Ư. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными и обозначаются А = В.

Если любой элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А (частью множества А) и обозначается В ⊂ А; Отсюда следует, что любое множество является частью самого себя.

По определению пустое множество ∅ является подмножеством любого множества. Т.о. у любого множества А есть два подмножества:

Они называются несобственными подмножествами множества А. Любое множество В множества А, которое не является несобственными подмножествами А, (т.е. они отличны от А и ∅) и называются собственными подмножествами подмножества А. Множество из одного элемента а обозначается {а}.

Пример: А = {1;2;3} тогда пустое множество ∅ и само множество А является несобственными подмножествами А.

Множества:{1},{2},{3},{1;2},{1;3},{2;3} называются собственными подмножествами множества А. Совокупность всех множеств А называется его булеаном и обозначается – 2 А; В А, означает, что В А, В ≠ А. В этом случае говорят, что В строго включено в А или В является собственным подмножеством А;

В случае В ⊆ А, В = А говорят, что В нестрогое включение в А, т.е. В является несобственным подмножеством А.

Основные логические символы

ХР(х) – квантор общности (означает “для любого х выполняется

ХР(х) – квантор существования (означает “существует х, для которого выполняется Р (х)”.)

Р ⇒ Q – импликация (“из Р следует Q ”)

⟺ - эквивалентность (“тогда и только тогда”)

Р ∧ Q – конъюнкция (“Р и Q”)

Р ∨ Q – дизъюнкция (“Р или Q”)

Не Р или - отрицание Р

: = - символы присвоения (“положим”)

def – (“положим по определению”)

Используя эти символы можно записать:

1) (А = В) ⟺(( х ∈ А ⇒ х ∈ В) ∧ ( х ∈ В ⇒ х ∈ А)

2) (А ⊆ В) ⟺ ( х/х ∈А ⇒ х ∈ В)

3) (А = В) ⟺ (В ⊂ А ∧ А⊂ В)

Задание множеств

Перечислением элементов: М: = { а 1 ; а 2 ; а 3 ; …; а n }

или характеристическим свойством Р(х)

(предикатом): М: = { х | Р(х) }

Например:

1) В = { х ∈ N | х < 3} означает, что В= { 1; 2}

2) А ={ х ∈ N | х +1=5} означает, что А = {4}

3) В = { х ∈ N | х M5} или {5;10;15…}

т.е. { х | Р(х) }означает, что множество элементов х множества обладает свойством Р(х)

4) М = { х ∈ N | х ­3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}

Операции над множествами

Рассматриваются следующие операции над множествами:

1 0 . Объединение множеств А и В.

U

А ∪ В = { х/х ∈ А или х ∈ В} – т.е. состоит из элементов, принадлежащих хотя б одному из множеств А или В.

2 0 . Пересечение множеств А и В.

A∩B = {x/x ∈ A и x ∈ B} – т.е. состоят из элементов, принадлежащих одновременно А и В.

3º. Разность множеств А и В.

A/B = {x/x ∈ A и x ∉ B} – т.е. состоит из элементов А, не принадлежащих В.

4º. Симметрическая разность А и В (или кольцевая сумма А и В)

А Ө B = {x/x ∈ A и x ∉ B} ∪ {x/x ∈ В и x ∉ А} или {А\В ∪ В\А}

5º. Дополнение А до универсума

= U\A = {x|x ∈ Uux и x ∉ А}

Произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, в которой I элемент из множества А, II элемент – из множества В, т.е. А×В = {(а, в)/а Є А ̂в Є В}

Пример: А={2;5;7;9} и В ={2;4;7},

Тогда А×В = {(2,2) ; (2,4) ; (2,7) ; (5,2) ; (5,4) ; (5,7) ; (7,2) ; (7,4) ; (7,7) ; (9,2) ; (9,4); (9,7)}

А∩В={2,7}; А∪В={2,4,5,7,9}; А/В={5,9}; В/А={4}; А Ө В={4,5,9}

Элементы множества А×В называются точками; В паре (х, у) абсцисса – х и ордината – у точки, соответствующей этой паре.

Множество точек плоскости является прямым произведением вида R×R=R 2 , где R–множество действительных чисел.

R 2 называется декартовым квадратом на R.

Элементы теории графов

Сравнительный анализ возможностей человека и машины

В системе «человек-машина» к человеку предъявляются ряд требований.

Человек должен:

Уметь четко формулировать задачи;

Знать компоненты СОУ и ее возможности;

Уметь составлять программу решения задачи;

Уметь сравнивать полученный результат с предполагаемым и изменять несоответствие изменением способа решения задачи.

Множество - это объединение в одно целое объектов, связанных между собой неким свойством. Термин «множество» в математике не всегда обозначает большое количество предметов, оно может состоять из одного элемента и вообще не содержать элементов, тогда его называют пустым и обозначают .

Множество B называется подмножеством множества A , если любой элемент множества B является элементом множества A . Обозначение: .

Пример. . Запишем все подмножества множества M: {-14}, {11}, {17}, {-14;11}, {-14;17}, {11;17}, {-14;11;11}, .

Свойства включения множеств:

1. Пустое множество является подмножеством любого множества: Æ Ì А .

2. Любое множество является подмножеством самого себя, т. е. для любого множества А справедливо включение А Ì А .

3. Если А – подмножество множества В , а В – подмножество множества С , то А – подмножество множества С .

Универсальное множество – это самое большее множество, содержащее в себе все множества, рассматриваемые в данной задаче.

На диаграмме Эйлера – Венна универсальное множество обозначают в виде прямоугольника и буквы U .

Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, объединенных по какому-то общему признаку.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множество обозначают символом A = {x }, где x - общее наименование элементов множества A . Часто множество записывают в виде A = {a , b , c , ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A . Будем пользоваться обозначениями:

N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
Z 0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

a принадлежит множеству A .

Запись (или ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A .

Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.

Множество B , все элементы которого принадлежат множеству A , называется подмножеством множества A , и при этом записывают (или )

Всегда , так как каждый элемент множества, естественно, принадлежит A . Пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента, обозначим символом . Любое множество содержит пустое множество в качестве своего подмножества.

Если , то A и B называются равными множествами , при этом записывают A = B .

5. Операции над множествами: объединение множеств, свойства этой операции.

Объединение множеств А и В - это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В, т.е. принадлежат А или принадлежат В.

объединением множеств A и B называется множество

6. Операции над множествами: пересечение множеств, свойства этой операции.

Пересечение множеств А и В - это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Пересечением подмножеств A и B называется множество

7. Элементы комбинаторики: Перестановки.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения .

Правило суммы : пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A 1 , A 2 , …, A n , содержащих m 1 , m 2 , …, m n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m 1 + m 2 + … + m n .

Пример . Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y , то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Y способами.

Правило произведения : пусть имеется n множеств A 1 , A 2 , …, A n содержащих m 1 , m 2 , …, m n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а 1 , а 2 , ..., а n ), где а i Î А i1 (i = 1, 2, …, n ), равно m 1 · m 2 · … · m n .

Пример . Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Факториал. Так называют часто встречающуюся в практике функцию, определенную для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor - «сомножитель». Обозначается она . Для каждого целого положительного числа функция равна произведению всех целых чисел от 1 до . Например: . Для удобства полагают по определению . Особенно часто встречается факториал в комбинаторике. Например, количество способов выстроить школьников в одну шеренгу равняется

Определение. Если в некотором множестве переставлять местами элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой .

Общее число перестановок из m элементов обозначается P m и вычисляется по формуле:

8. Элементы комбинаторики: Сочетания.

Определение. Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п .

Общее число сочетаний находится по формуле:

9. Элементы комбинаторики: Размещения.