Модальные глаголы и их эквиваленты Can, Must, Should, MayОсобенности...
Сравнительный анализ возможностей человека и машины
Показатели превосходства человека | Показатели превосходства машины |
Обнаружение полезных сигналов с низким энергетическим уровнем (световых, звуковых) | Выполнение однообразных точных работ длительное время. |
Опознание образов и их обобщение | Быстрая реакция на сигналы управления |
Обнаружение сигналов на фоне высоких уровней шумов | Плавное и точное приложение больших усилий. |
Хранение большого объема информации длительное время и использование требуемой информации в нужное время | Хранение больших объемов информации и быстродействие при их вводе |
Способность к восприятию и использованию неполной информации | Выполнение сложных вычислений с большой точностью и скоростью |
Нахождение и использование эвристических методов решения | Одновременное выполнение нескольких разнообразных действий |
Реагирование на непредвиденные обстоятельства | Использование дедуктивных методов в процессе принятия решения |
Оригинальность в решении задач | Нечувствительность ко многим посторонним факторам |
Способность учитывать прошлый опыт и изменять способ действий | Работоспособность в условиях, где человек не может работать |
Способность выполнять операции в непредвиденных ситуациях | Чувствительность к стимулам превосходящим человеческие |
Способность работать в условиях перегрузок | Время стабильной работы больше, чем у человека |
Чувствительность к широкому диапазону стимулов |
В системе «человек-машина» к человеку предъявляются ряд требований.
Человек должен:
Уметь четко формулировать задачи;
Знать компоненты СОУ и ее возможности;
Уметь составлять программу решения задачи;
Уметь сравнивать полученный результат с предполагаемым и изменять несоответствие изменением способа решения задачи.
Множество - это объединение в одно целое объектов, связанных между собой неким свойством. Термин «множество» в математике не всегда обозначает большое количество предметов, оно может состоять из одного элемента и вообще не содержать элементов, тогда его называют пустым и обозначают .
Множество B называется подмножеством множества A , если любой элемент множества B является элементом множества A . Обозначение: .
Пример. . Запишем все подмножества множества M: {-14}, {11}, {17}, {-14;11}, {-14;17}, {11;17}, {-14;11;11}, .
Свойства включения множеств:
1. Пустое множество является подмножеством любого множества: Æ Ì А .
2. Любое множество является подмножеством самого себя, т. е. для любого множества А справедливо включение А Ì А .
3. Если А – подмножество множества В , а В – подмножество множества С , то А – подмножество множества С .
Универсальное множество – это самое большее множество, содержащее в себе все множества, рассматриваемые в данной задаче.
На диаграмме Эйлера – Венна универсальное множество обозначают в виде прямоугольника и буквы U .
Множество - совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита - от A до Z .
Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:
N - множество натуральных чисел
Z - множество целых чисел
Элемент множества - это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈ . Запись
читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 - элемент множества Z .
Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество - множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество - множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.
Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись
L = {2, 4, 6, 8}
означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.
Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми .
Подмножество
Подмножество - это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.
Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера . Круги Эйлера - это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.
Рассмотрим два множества:
L = {2, 4, 6, 8} и M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M , значит, множество L M . Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :
L ⊂M
Запись L ⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M .
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком = .
Рассмотрим два множества:
L = {2, 4, 6} и M = {4, 6, 2}
Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M .
Пересечение и объединение множеств
Пересечение двух множеств - это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩ .
Например, если
L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19}, то L ∩M = {3, 11}.
Запись L ∩M читается так: пересечение множеств L и M .
Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах .
Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪ .
Например, если
L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19},
то L ∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.
Запись L ∪M читается так: объединение множеств L и M .
При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:
если L = M , то L ∪M = L и L ∪M = M .
На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.
Пример 1.
Дано множество А = {а, с, р, о}. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:
Собственные подмножества: {а} , {с} , {р} , {о} , {а, с} , {а, р} , {а, о}, {с, р} , {с, о } ∈, {р, о}, {а, с,р} , {а, с, о}, {с, р, о}.
Несобственные: {а, с, р, о}, Ø.
Всего: 16 подмножеств.
Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.
Пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
. любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
. У любого n-элементного множества ровно 2 n подмножеств.
Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.
Вывод формулы: Допустим у нас имеется множество из n-элементов. При составлении подмножеств первый элемент может принадлежать подмножеству или не принадлежать, т.е. первый элемент можем выбрать двумя способами, аналогично для всех остальных элементов (всего n-элементов), каждый можем выбрать двумя способами, и по правилу умножения получаем: 2∙2∙2∙ ...∙2=2 n
Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.
Теорема. Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов, равно 2 n .
Доказательство.
Множество, состоящее из одного элемента a, имеет два (т.е. 2 1) подмножества: ∅ и {a}. Множество, состоящее из двух элементов a и b, имеет четыре (т.е. 2 2) подмножества: ∅, {a}, {b}, {a; b}.
Множество, состоящее из трех элементов a, b, c, имеет восемь (т.е. 2 3) подмножеств:
∅, {a}, {b}, {b; a}, {c}, {c; a},{c; b}, {c; b; a}.
Можно предположить, что добавление нового элемента удваивает число подмножеств.
Завершим доказательство применением метода математической индукции. Сущность этого метода в том, что если утверждение (свойство) справедливо для некоторого начального натурального числа n 0 и если из предположения, что оно справедливо для произвольного натурального n = k ≥ n 0 можно доказать его справедливость для числа k + 1, то это свойство справедливо для всех натуральных чисел.
1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.
2. Допустим, что теорема доказана для n = k, т.е. число подмножеств множества, состоящего из k элементов, равно 2 k .
3. Докажем, что число подмножеств множества B, состоящего из n = k + 1 элемента равно 2 k+1 .
Выбираем некоторый элемент b множества B. Рассмотрим множество A = B \ {b}. Оно содержит k элементов. Все подмножества множества A - это подмножества множества B, не содержащие элемент b и, по предположению, их 2 k штук. Подмножеств множества B, содержащих элемент b, столько же, т.е. 2 k
штук.
Следовательно, всех подмножеств множества B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорема доказана.
В примере 1 множество А = {а, с, р, о} состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 2 4 =16.
Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.
Пример 2.
Eсть множество {a b c}, в соответствие ставятся следующие числа:
000 = {0} (пустое множество)
001 = {c}
010 = {b}
011 = {b c}
100 = {a}
101 = {a c}
110 = {a b}
111 = {a b c}
Калькулятор множества всех подмножеств.
В калькуляторе уже набраны элементы множества А = {а, с, р, о} , достаточно нажать кнопку Submit. Если вам необходимо решение своей задачи, то набираем элементы множества на латинице, через запятую, как показано в примере.
Определение:
Множество – это любая совокупность объектов, которые называются его элементами.
Если х- элемент множества М, то обозначают: х М { х – принадлежит М}, если не принадлежит, то х ∉ М; Множество не содержащее элементов называется пустым и обозначается ∅
Множество, в котором содержатся все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается –
Ư. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными и обозначаются А = В.
Если любой элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А (частью множества А) и обозначается В ⊂ А; Отсюда следует, что любое множество является частью самого себя.
По определению пустое множество ∅ является подмножеством любого множества. Т.о. у любого множества А есть два подмножества:
Они называются несобственными подмножествами множества А. Любое множество В множества А, которое не является несобственными подмножествами А, (т.е. они отличны от А и ∅) и называются собственными подмножествами подмножества А. Множество из одного элемента а обозначается {а}.
Пример: А = {1;2;3} тогда пустое множество ∅ и само множество А является несобственными подмножествами А.
Множества:{1},{2},{3},{1;2},{1;3},{2;3} называются собственными подмножествами множества А. Совокупность всех множеств А называется его булеаном и обозначается – 2 А; В А, означает, что В А, В ≠ А. В этом случае говорят, что В строго включено в А или В является собственным подмножеством А;
В случае В ⊆ А, В = А говорят, что В нестрогое включение в А, т.е. В является несобственным подмножеством А.
Основные логические символы
ХР(х) – квантор общности (означает “для любого х выполняется
ХР(х) – квантор существования (означает “существует х, для которого выполняется Р (х)”.)
Р ⇒ Q – импликация (“из Р следует Q ”)
⟺ - эквивалентность (“тогда и только тогда”)
Р ∧ Q – конъюнкция (“Р и Q”)
Р ∨ Q – дизъюнкция (“Р или Q”)
Не Р или - отрицание Р
: = - символы присвоения (“положим”)
def – (“положим по определению”)
Используя эти символы можно записать:
1) (А = В) ⟺(( х ∈ А ⇒ х ∈ В) ∧ ( х ∈ В ⇒ х ∈ А)
2) (А ⊆ В) ⟺ ( х/х ∈А ⇒ х ∈ В)
3) (А = В) ⟺ (В ⊂ А ∧ А⊂ В)
Задание множеств
Перечислением элементов: М: = { а 1 ; а 2 ; а 3 ; …; а n }
или характеристическим свойством Р(х)
(предикатом): М: = { х | Р(х) }
Например:
1) В = { х ∈ N | х < 3} означает, что В= { 1; 2}
2) А ={ х ∈ N | х +1=5} означает, что А = {4}
3) В = { х ∈ N | х M5} или {5;10;15…}
т.е. { х | Р(х) }означает, что множество элементов х множества обладает свойством Р(х)
4) М = { х ∈ N | х 3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}
Операции над множествами
Рассматриваются следующие операции над множествами:
1 0 . Объединение множеств А и В.
U
А ∪ В = { х/х ∈ А или х ∈ В} – т.е. состоит из элементов, принадлежащих хотя б одному из множеств А или В.
2 0 . Пересечение множеств А и В.
A∩B = {x/x ∈ A и x ∈ B} – т.е. состоят из элементов, принадлежащих одновременно А и В.
3º. Разность множеств А и В.
A/B = {x/x ∈ A и x ∉ B} – т.е. состоит из элементов А, не принадлежащих В.
4º. Симметрическая разность А и В (или кольцевая сумма А и В)
А Ө B = {x/x ∈ A и x ∉ B} ∪ {x/x ∈ В и x ∉ А} или {А\В ∪ В\А}
5º. Дополнение А до универсума
= U\A = {x|x ∈ Uux и x ∉ А}
Произведение множеств
Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, в которой I элемент из множества А, II элемент – из множества В, т.е. А×В = {(а, в)/а Є А ̂в Є В}
Пример: А={2;5;7;9} и В ={2;4;7},
Тогда А×В = {(2,2) ; (2,4) ; (2,7) ; (5,2) ; (5,4) ; (5,7) ; (7,2) ; (7,4) ; (7,7) ; (9,2) ; (9,4); (9,7)}
А∩В={2,7}; А∪В={2,4,5,7,9}; А/В={5,9}; В/А={4}; А Ө В={4,5,9}
Элементы множества А×В называются точками; В паре (х, у) абсцисса – х и ордината – у точки, соответствующей этой паре.
Множество точек плоскости является прямым произведением вида R×R=R 2 , где R–множество действительных чисел.
R 2 называется декартовым квадратом на R.
Элементы теории графов
Раздел очень прост в использовании. В предложенное поле достаточно ввести нужное слово, и мы вам выдадим список его значений. Хочется отметить, что наш сайт предоставляет данные из разных источников – энциклопедического, толкового, словообразовательного словарей. Также здесь можно познакомиться с примерами употребления введенного вами слова.
Значение слова подмножество
подмножество в словаре кроссвордиста
Энциклопедический словарь, 1998 г.
подмножество
понятие теории множеств. Подмножество множества А - множество В (обозначается В? А), каждый элемент которого принадлежит А. Напр., множество всех четных чисел является подмножеством множества всех целых чисел.
Подмножество
множества А (математическое), любое множество, каждый элемент которого принадлежит А. Например, множество всех чётных чисел является П. множества всех целых чисел. Если к числу множеств причислить «пустое» множество, совсем не содержащее элементов, то, в силу определения, его следует считать П. любого другого множества. Само множество А и пустое множество называются иногда несобственными П., остальные же П. ≈ собственными. См.также Множеств теория.
Википедия
Подмножество
Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.
Примеры употребления слова подмножество в литературе.
Вы можете также набрать следующую букву, чтобы перейти к подмножеству всех возможных завершений.
Представленный документ МОЖЕТ быть как подмножеством оригинальной версии, так и содержать сведения, которые в ней не были представлены.
Хармсовский ноль как некое множество, включающее в себя бесконечный ряд нулевых подмножеств , -- это мир бесконечности.
Возможность печати подмножества страниц требует наличия фильтра, который может обрабатывать такую ситуацию.
Создание индекса с правилом фрагментации, не совпадающим с правилом фрагментации таблицы, полезно в тех случаях, когда в разных приложениях выборки из таблицы осуществляются на основе разных подмножеств ее атрибутов.